Aqui está um quebra-cabeças divertido: quão grande deve ser um grupo aleatório de pessoas para que haja 50% de chance de que pelo menos duas pessoas compartilhem um aniversário? A resposta é 23, o que surpreende muita gente. Como isso é possível?
Ao ponderar sobre esta questão, conhecida como o “problema do aniversário” ou o “paradoxo do aniversário” nas estatísticas, muitas pessoas intuitivamente adivinham 183, já que isso é metade de todos os aniversários possíveis, dado que geralmente há 365 dias em um ano. Infelizmente, a intuição muitas vezes se sai mal nesse tipo de problema estatístico.
“Eu amo esses tipos de problemas porque eles ilustram como os humanos geralmente não são bons com probabilidades, levando-os a tomar decisões incorretas ou tirar conclusões ruins”, disse. Jim Frost (abre em nova aba), um estatístico que escreveu três livros sobre estatística e é colunista regular do Statistics Digest da Sociedade Americana de Qualidade, disse à Live Science por e-mail. “Além disso, eles mostram o quão benéfico matemática pode ser para melhorar nossas vidas. Portanto, os resultados contra-intuitivos desses problemas são divertidos, mas também servem a um propósito.”
Para calcular a resposta para o problema do aniversário, Frost começou com algumas suposições. Primeiro, ele desconsiderou anos bissextos, pois isso simplifica a matemática e não altera muito os resultados. Ele também assumiu que todos os aniversários têm a mesma chance de acontecer.
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Se você começar com um grupo de duas pessoas, a chance de a primeira pessoa não fazer aniversário com a segunda é 364/365. Como tal, a probabilidade de eles compartilharem um aniversário é de 1 menos (364/365), ou uma probabilidade de cerca de 0,27%.
Se você assumir um grupo de três pessoas, as duas primeiras pessoas cobrem duas datas. Isso significa que a chance de a terceira pessoa não fazer aniversário com as outras duas é de 363/365. Como tal, a probabilidade de todos eles compartilharem um aniversário é 1 menos o produto de (364/365) vezes (363/365), ou uma probabilidade de cerca de 0,82%.
Quanto mais pessoas em um grupo, maiores as chances de que pelo menos um par de pessoas compartilhe um aniversário. Com 23 pessoas, há uma chance de 50,73%, observou Frost. Com 57 pessoas, há uma probabilidade de 99%.
“Recebi mensagens de professores de estatística da faculdade que farão uma aposta de US$ 20 sobre duas pessoas que compartilham um aniversário em uma determinada aula de estatística”, disse Frost. “Dadas as probabilidades associadas ao problema do aniversário, ele sabe que é praticamente garantido que ganhará. Mas a cada semestre, os alunos sempre apostam e perdem! Felizmente, ele diz que devolve o dinheiro, mas depois os ensina a resolver o aniversário problema.”
Pode haver várias razões pelas quais a resposta para o problema do aniversário parece contra-intuitiva. Uma é que as pessoas podem calcular inconscientemente quais são as chances de que outra pessoa em um grupo faça aniversário, em oposição à questão real, que é se alguém em um grupo compartilha um aniversário, disse Frost.
“Segundo, acho que eles também começam com algo como, bem, há 365 dias em um ano, então você provavelmente precisa de cerca de 182 pessoas para ter 50% de chance”, disse Frost. “Mas o mais importante, eles subestimam significativamente a rapidez com que a probabilidade aumenta com o tamanho do grupo. O número de possíveis pares aumenta exponencialmente com o tamanho do grupo. E os humanos são terríveis quando se trata de compreender o crescimento exponencial.”
O problema do aniversário está conceitualmente relacionado a outro problema de crescimento exponencial, observou Frost. “Em troca de algum serviço, suponha que você receba 1 centavo no primeiro dia, 2 centavos no segundo dia, 4 centavos no terceiro, 8 centavos, 16 centavos e assim por diante, por 30 dias.” disse Frost. “É um bom negócio? A maioria das pessoas pensa que é um mau negócio, mas graças ao crescimento exponencial, você terá um total de US$ 10,7 milhões no 30º dia.”
Publicado originalmente no Live Science.
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